ИИ решил «задачу тысячелетия». Что это значит для математики и всего мира

Американская корпорация OpenAI объявила, что ее внутренняя модель смогла найти решение уравнений Навье — Стокса — одной из семи «задач тысячелетия». Wall Street Journal сравнила открытие исследователей с обнаружением «святого Грааля математики».

Система трех уравнений Навье — Стокса была известна еще в XIX веке, «достаточно давно уже люди вполне себе понимают, как описывать окружающие нас явления, происходящие в воздухе и воде», но проблема состоит в том, насколько эти уравнения адекватно описывают реальность, говорит РБК ректор университета Иннополис доктор физико-математических наук Александр Гасников. Второй вопрос заключается в следующем: если уравнения в какой-то степени адекватно описывают реальность, можно ли гарантировать, что они в каком-то классическом или неклассическом варианте разрешимы.

Вопрос корректности системы уравнений Навье — Стокса был одной из «проблем тысячелетия», за которые институт Клэя давал $1 млн. «Я бы ее классифицировал как третью по значимости после проблемы P и NP и гипотезы Римана», — говорит Гасников. — Ученые решали вопрос о том, насколько сами эти уравнения адекватны и корректны, насколько они описывают реальность: постепенно шли к тому, чтобы фактически построить контрпример, то есть отрицательное решение».

Что такое «задачи тысячелетия»

«Задачи тысячелетия» (Millennium Prize Problems) — это семь ключевых нерешенных математических проблем, за доказательство или опровержение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, CMI) в Кембридже (США) назначил премию $1 млн. Список был представлен 24 мая 2000 года на заседании в Коллеж де Франс в Париже.

С тех пор решена была одна задача — гипотеза Пуанкаре. Это топологическое утверждение о том, что всякое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Доказательство представил российский математик Григорий Перельман — в 2010 году институт официально присудил ему премию (Перельман от нее отказался).

В списке задач: равенство классов P и NP — вопрос теории вычислительной сложности: если решение задачи можно быстро (за полиномиальное время) проверить, значит ли это, что его можно так же быстро найти; гипотеза Ходжа — вопрос алгебраической геометрии о том, что рациональный когомологический класс типа (p, p) на проективном алгебраическом многообразии представим рациональной суммой алгебраических подмногообразий; гипотеза Римана — утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть, равную 1/2.

Гасников отмечает, что искусственный интеллект доделал работу за учеными, а после этого началась дискуссия о вкладе в решение этой проблемы. «Естественно, если вкладывать в решение задачи $15 млн, имея подсказки от ученых, где искать контрпример, наверное, должен был случиться момент, когда ученых ИИ должен был опередить, перебирая быстрее людей разные возможные варианты [контрпримеров]».

Генеральный директор Института AIRI и декан факультета искусственного интеллекта МГУ Иван Оселедец в разговоре с РБК отметил, что искусственный интеллект решил не уравнение Навье — Стокса, а решение «проблемы тысячелетия», связанной с этим уравнением. Многие вещи, например самолеты или берегозащитные сооружения, моделируются с помощью решения такого рода уравнений, рассказывает Оселедец. Но у нас всегда есть вопрос: «Действительно ли это уравнение описывает реальность, ту физическую систему, которую оно должно описывать?» По его словам, многие великие математики в Советском Союзе и России занимались этой задачей, например Ольга Ладыженская, и то, что ответ будет получен, было понятно пять-шесть лет назад.

«Многие, в том числе и я, думали, что не на моей жизни будет решена проблема Навье — Стокса», — не соглашается заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института имени Стеклова РАН и автор проекта «Математические этюды» Николай Андреев. По его словам, искусственный интеллект может сделать «выпуклую оболочку существующих знаний», что позволяет решать задачи.

Оселедец отмечает, что в OpenAI построили пример замкнутой системы: «Вы можете представить себе стакан с кофе, начинаете его закручивать специальным образом, и в нем возникает такая сингулярность, водоворот. То есть за конечное время жидкость, если бы она описывалась в уравнении Навье — Стокса, разлетается сколь угодно далеко вверх и вниз. Понятно, что на практике этого не произойдет». Из этого следует, что уравнение не описывает произвольный режим течения вязкой несжимаемой жидкости. Как объясняет ученый, формальные доказательства занимают миллионы строк, а ответ был дан отрицательный.

«Другое дело, что надо отдать должное людям, которые эту конструкцию придумали. То есть придумали саму идею построения таких решений, которые взрываются. Придумали в 2013 году. В 2022 году построили для упрощенных моделей». OpenAI взяла в параллель 10 тыс. агентов, которые «где-то за неделю смогли из известных кусочков, полным перебором собрать эту конструкцию».

Как ИИ решил задачу тысячелетия

Уравнения были сформулированы французским физиком Анри Навье и британским математиком Джорджем Стоксом в 1822 и 1829 годах соответственно. С тех пор ученые пытались доказать или опровергнуть, что уравнения гидродинамики в трехмерном евклидовом пространстве всегда имеют единственное гладкое решение с конечной энергией при любых «быстро затухающих» начальных условиях.

«Мы представляем решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса — одной из «задач тысячелетия», заявили в OpenAI. Это доказательство, полученное с помощью внутренней системы OpenAI, демонстрирует, что в динамике уравнений Навье — Стокса, описывающих движение жидкости, за конечное время может возникнуть сингулярность. Мы публикуем как описание самого доказательства, так и его формализацию на языке Lean», — говорится на сайте корпорации.

Решение выглядит так: в жидкости образуется вихрь — вращающийся поток, который закручивается по спирали внутрь и вытягивается как спагетти. Центральная часть этого вихря сжимается, а скорость вращения бесконечно растет, но благодаря точному балансу между силами давления, вязкости и переноса импульса вся конструкция остается в рамках физических законов.

Для решения уравнений использовались примерно 10 тыс. автономных агентов внутренней ИИ-модели, показатели которой превосходят GPT-6 Astra; агенты пришли к решению спустя 88 часов с момента запуска первого из них. Еще 17 часов ушло на формальную проверку доказательства с помощью Lean — специального языка программирования, который математики используют, чтобы автоматически и строго проверить каждый шаг рассуждения. Всего в процессе решения всех задач агенты отправили друг другу 4,9 млн сообщений и использовали порядка 300 млрд токенов, из которых на саму задачу Навье — Стокса ушло 2,7 млн сообщений и около 130 млрд токенов.

Агенты были разбиты на группы, каждая из которых проверяла разные версии условий задачи — часть искала доказательство, часть искала опровержение — и обменивались сообщениями между собой.

Перед этим те же агенты решили похожую, но более простую задачу — про уравнения Эйлера (частный случай Навье — Стокса), и это подтолкнуло команду сосредоточить все ресурсы именно на одной из проблем тысячелетия.

Одна из интереснейших проблем математики и физики — это проблема турбулентности, сказал РБК профессор-исследователь факультета математики НИУ ВШЭ Юлий Ильяшенко. Она состоит в том, чтобы объяснить, почему поток жидкости, разогнанный до больших скоростей, начинает вести себя хаотически: «Одно из загадочных явлений — это невоспроизводимость эксперимента. Два раза повторенный разгон потока жидкости в абсолютно одних и тех же условиях приводит в конечном счете к разным картинам». Как объяснил РБК Ильяшенко, «проблема тысячелетия» состоит в том, что течение жидкости описывается уравнением с частными производными.

Коренное изменение

Открытие OpenAI — еще одно явное свидетельство того, что искусственный интеллект коренным образом меняет ситуацию в высших сферах математики, которые долгое время считались вершиной человеческих достижений, пишет The New York Times. За последний год системы искусственного интеллекта успешно решили несколько задач, над которыми десятилетиями бились математики. Однако те задачи не были столь сложными и не привлекали столь пристального внимания, как та, что была решена с помощью технологии OpenAI за последние несколько дней, отметило издание.

Если несколько лет назад искусственный интеллект «превосходил сильных школьников, то сейчас он претендует на то, чтобы превзойти лучших математиков мира», полагает Юлий Ильяшенко.

«По сути, можно предложить ей практически любую открытую задачу, — цитирует WSJ исследователя OpenAI Себастьена Бубека, — и шансы на то, что модель сможет ее решить, — примерно 50 на 50».

Ректор университета Иннополис считает, что в работе многих ученых сейчас уже огромную роль играют доступ к передовым моделям ИИ и умение ими пользоваться: «Успех работы сейчас в том числе зависит и от того, насколько много «кредитов» ученый может потратить на то, чтобы запускать современные модели ИИ. Насколько он умеет всем этим пользоваться». Он также уверен, что необходимо развивать подобные инструменты в России: «Никто нам просто так не даст такие ИИ-модели, если и дают, то за большие деньги. Мы не можем себе такое позволить, чтобы открытия делать. А, извините, эти открытия могут иметь и какой-нибудь важный национальный интерес? Может, какой-то термоядерный синтез?» — рассуждает Гасников. Он также поделился тем, что за последние два месяца решил 10–15 задач с помощью искусственного интеллекта, которые до этого годами пытался решить.

«Останутся только великие»

«Эти задачи подобны маякам, — сказал NYT Теренс Тао, профессор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. — Они служат важными ориентирами, притягивающими усилия ученых». Тао задолго до решения уравнений предупреждал, что новейшие системы ИИ могут нанести вред математике как науке. По его словам, если технологии ИИ смогут решать сложнейшие задачи практически без участия людей, это может ослабить понимание предмета самими математиками. «Процесс решения задач часто очень поучителен. Он дает новые знания. Это как поход в спортзал с целью поднять тяжесть 100 раз, — пояснил он. — А теперь ИИ может решать задачи, не извлекая из них никакой пользы для себя. Это все равно что иметь машины, которые поднимают тяжести за вас в спортзале».

По словам Оселедца, достижение OpenAI — «показатель того, что путь от идеи доказательства к самому доказательству сократился колоссально». Саму практику, когда ученые взаимодействуют с искусственным интеллектом, математик назвал абсолютно нормальной: «Ключевая идея пришла от человека, но дальше надо было перепроверить огромное количество таких технических вычислительных гипотез, которые человеку делать сложно. Ну не может же человек бегать быстрее, чем автомобиль или самолет? Не может. Но человек, который сел в самолет, может существенно быстрее добраться до нужной точки».

Раньше студентов и аспирантов тренировали на нужных, но относительно простых задачах, и они получали «морковку» в качестве статьи или признания, то теперь и это «заведомо может сделать» ИИ, продержаться в науке до 30–40 лет без статей или признанных результатов, «просто изучая науку», чтобы потом сформулировать какую-то «принципиально важную вещь», будет немногим под силу, полагает Николай Андреев из Математического института имени Стеклова РАН. Математики «среднего класса» в науке не будут нужны, и «останутся только самые великие, которые могут действительно что-то принципиально новое сказать», заключает эксперт. Но математически образованные люди будут нужны — как минимум для того, чтобы получать от ИИ правильные результаты, но это все-таки не математика в высшем ее понимании — изучении мира, говорит он.

Обвинения в краже решения

Еще до публикации решения от OpenAI этой же проблемой занимался профессор математики Нью-Йоркского университета Тристан Бакмастер. Во вторник, 8 сентября, он